Platon und Aristoteles (für Naturwissenschaftler)

Plato und Aristoteles, aus Raffael, Die Schule von Athen
aus spektrum.de, 10. März 2019

Platon und Aristoteles

Von Josef Honerkamp 

Wollte ich eine Abhandlung über die Vorsokratiker schreiben, müsste ich nun in diesem Blogbeitrag auf die so genannten Pluralisten und Atomisten wie Anaxagoras, Empedokles, Leukipp und Demokrit eingehen. Aber ich will hier nicht einen Abriss der Philosophie der Vorsokratiker geben. Das ist anderswo häufig genug geschehen, und sicherlich nach einem viel eingehenderen Studium der Literatur der vergangenen Jahrtausende, als ich es vorweisen kann. Mich interessieren im Wesentlichen die Gedanken der Vorsokra- tiker, in denen man die Vorboten der Denkweise der modernen Physik, Mathematik und Logik entdecken kann.

Da sind es ohne Zweifel die drei Grundgedanken, die von der Schule von Milet, von den Pythagoreern und von Xenophanes so treffend und schon so früh in der Geistesgeschichte geäußert worden sind: In der Natur gibt es so etwas wie einen Kausalzusammenhang, die Regelmäßigkeiten in der Natur kann man in der Sprache der Mathematik formulieren, und zum Wissen kann man erlangen, indem man „suchend das Bessere“ findet. Ein letztgültiges Wissen kann es aber nicht geben.

Auch die ersten tastenden Schritte der Vorsokratiker in Richtung grundlegender Begriffe wie z.B. der „Bewegung“ sind bemerkenswert. Die lange Geschichte der Klärung dieses Begriffes im Laufe der Jahr- tausende zeigt deutlich, welche Mühen es macht, aus dem Dunkel der ersten Überlegungen nach und nach zu einer klaren Vorstellung zu gelangen, mit der man verlässlich argumentieren kann.

Wenn ich nun die Entwicklung des „Logos“ in der Geschichte der Philosophie weiterverfolge, werde ich noch selektiver vorgehen. Ich werde mich auf die Höhepunkte konzentrieren, also auf die Werke, in denen wesentliche Fortschritte erzielt worden sind. Natürlich erkennt man diese oft erst, indem man vom heutigen Stand aus zurückblickt. Es werden solche Entwicklungen in Logik, Mathematik und Physik im Vorder- grund stehen, die für den heutigen Stand in methodischer Hinsicht wie im Hinblick auf die Bildung von Begriffen bedeutsam geworden sind.

Beginnt man nun also die Entwicklung in der Zeit nach den Vorsokratikern zu betrachten, muss man zunächst auf die drei Großen der griechischen Philosophie zu sprechen kommen: Sokrates (-469 bis -399), Platon (-428 bis -348) und Aristoteles (-384 bis -322). Wie schon im ersten Blogbeitrag erwähnt, führte Sokrates ein neues Thema in die Philosophie ein: Die Ethik. Aber nicht nur dieses neue Thema sorgte für eine neue Ära in der Philosophie. Diese war ja inzwischen in Athen, der Hauptstadt der Griechen, ange- kommen; Anaxagoras aus Kleizomenai (ionien) war im Jahr  -462 nach Athen übergesiedelt und hatte dort die Gedanken der Milesier und anderer Vorsokratiker bekannt gemacht.

Dort, wo mehr Menschen zusammenkommen können, ist auch die Wahrscheinlichkeit größer, dass sich Menschen mit gleichen Interessen treffen und sich darüber austauschen. Neben Lehrer-Schüler-Verhältnis- sen können nun auch Gemeinschaften entstehen, in denen auf gleicher „Augenhöhe“ diskutiert werden kann. Die Dialektik kam in Mode. Schon Zenon von Elea war ihr großer Freund gewesen, Aristoteles hatte ihn später gar als deren Erfinder gerühmt (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 361, Nr.4). Die attische Demo- kratie blühte, es war eine frühe Art einer Demokratie, in der das „Staatsvolk“ die Herrschaft ausübte, wobei das Staatsvolk aus den männlichen Vollbürgern der Stadt Athen bestand, die das 30. Lebensjahr vollendet hatten. Diese Vollbürger konnten sich auch Dingen zuwenden können, die nicht direkt zum täglichen Leben notwendig waren; für solche Arbeiten gab es genügend Sklaven, Frauen oder Zugezogene. Insbesondere in politischen Versammlungen und vor Gericht war Beredsamkeit und die Kunst der Dialektik gefragt, d.h. die richtigen Gründe für Meinungen zu finden und solche auszubreiten, die bei Zuhörern Beifall finden konn- ten.  Sophisten lehrten gegen Geld diese Kunst zu beherrschen, sogar in Diskussionen den Gegner geschickt in einen Widerspruch verwickeln zu können.

Über Sokrates wissen wir einiges von Diogenes Laertius (Laertius, 2015, pp. 67-90), insbesondere soll er gesagt haben: „er wisse nichts, außer eben dies, dass er nichts wisse” (DL 83). Und „das Gute sei zwar nichts Geringes, fange aber mit Kleinem an” (DL 83). Wir kennen aber keine Schriften von ihm.  Platon legt ihm jedoch in seinen Werken viel in den Mund. Diese Werke stellen stets Dialoge dar, die Sokrates mit verschiedensten Gesprächspartnern führt und in denen es immer um die Klärung eines Begriffes oder einer Frage geht.

Platon

Nach dem Tod des Sokrates hielt sich Platon in seinen Lehr- und Wanderjahren zunächst bei einem Anhänger der Philosophie des Parmenides auf, reiste „nach Kyrene zum Mathematiker Theodoros und von da nach Italien zu den Pythagoreern Philolaos und Eurytos; von da nach Ägypten zu den Propheten“ (Laertius, 2015, p. 141). So hat er verschiedenste Eindrücke gesammelt und diese zu einem grandiosen mythischen Gedankengebäude verbunden, das bis heute wirkmächtig ist und weiterhin viele Menschen inspiriert.

Er muss ein großer Erzähler gewesen sein. In seinen Werken schilderte er in Form eines Dialogs die Bemühung um Begriffe und Antworten auf die Frage nach richtigem Handeln oder einem guten Leben. Wer diese literarische Form als erster gewählt hat, ist umstritten. „Man hört wohl, Zenon, der Eleate, habe als erster Dialoge geschrieben, Aristoteles aber nennt als solchen […] den Alexamos aus Styra […]. Ich dagegen meine, dass Platon sich durch seine strenge Behandlung und Ausbildung […] den Anspruch gesichert habe auf den ersten Platz […]. Der Dialog ist „eine sich in Frage und Antwort abspielende Aus- führung eines philosophischen oder politischen Themas“, die Dialektik aber „ist die Unterredungskunst, durch die wir etwas nichtig oder als richtig erweisen aufgrund des Frage- und Antwortverfahrens der Unterredner.“(alle Zitate: (Laertius, 2015, p. 159)). 

Zu den Werken Platons sagt Diogenes Laertius: „In den Bereich der Physik gehört der Timaios, in das der Logik der Politikos, Kratylos, Parmenides und Sophistes“ (Laertius, 2015, p. 160). 

Wenn er, wie im Timaios auf die Vorstellungen der Vorsokratiker über den Kosmos zu sprechen kam, tat er dies in mythischer Form oder knüpfte an Pythagoras an und sah die Welt aufgebaut aus geometrischen Formen. Unter Logik verstand man damals noch vorwiegend die Arbeit an Begriffen, d.h. die Aufdeckung der Beziehungen verwandter Begriffe zu einander, z.B. ihre Einordnung als Ober- bzw. Unterbegriffe. Von einer solchen Begriffseinteilung, „Dihairesis“ genannt, erwartete man sich eine klarere Definition. Man sah aber schon, dass eine Definition oft Definitionen wiederum der Bestimmungsstücke erforderte, somit auch in einen infiniten Regress führen konnte.

Aristoteles wuchs in der Akademie mit dieser Methode auf. Somit standen in seiner Logik, die er bald entwickeln sollte, auch die Begriffe im Zentrum. Diese wurde also eine so genannte Begriffslogik.  Die moderne Logik dagegen ist eine Aussagenlogik. Im nächsten Blogbeitrag werde ich den Unterschied genau herausarbeiten.

Für eine Beweisführung benutzte Platon hauptsächlich die Induktion, also den Schluss von Speziellen auf das Allgemeine, „der durch einige wahre Fälle die gleiche Wahrheit für andere Fälle in angemessener Weise erschließt“, so heißt es bei Laertius (Laertius, 2015, p. 161). Lange hat man diesen Schluss als „angemessen“ gehalten, erst David Hume hat betont, dass dieser Schluss nicht zwingend, also nicht immer „angemessen“ ist. In der modernen Logik findet dieser Schluss denn auch keinen Platz. 

Zentrales Thema Platons aber war die Seele des Menschen und wie sich diese in Sprache, Ethik, Kunst und Politik ausdrücken kann. Dabei schmückt er vorhandene Mythen aus, gestaltet sie um oder erfindet ganz neue Geschichten (siehe Wikipedia: Platonischer Mythos). 

Die Platonische Akademie 

Für die Entwicklung des „Logos“ gibt das alles nicht viel her. Interessant ist aber in diesem Zusammen- hang, dass er die Ausbildung auch in den analytischen Fächern sehr förderte, wohl motiviert durch den Eindruck, den pythagoreische Mathematiker auf ihn gemacht haben. Er war nämlich nicht nur ein großer Erzähler, sondern auch ein guter Organisator und Gestalter. So gründete er eine Schule, in der junge Leute in Philosophie und Wissenschaft unterrichtet werden sollten. Dafür erwarb er, vermutlich im Jahre -387, ein Grundstück bei einem Hain, den man Akademeia nannte, weil man ihn dem Heros Akademos geweiht hatte.  Neben Metaphysik, Ethik, Dialektik und Seelenlehre studierte man dort Physik und insbesondere Mathematik, die bald zur Grundausbildung eines jeden Schülers eines Philosophen gehörte. Die Akademie blieb, mit Unterbrechungen, über viele Jahrhunderte bestehen, sie wurde erst um 530 geschlossen. 

Die Platonische Akademie wurde zum Vorbild: Seit Augustinus (354 bis 430) und Martianus Capella, einem römischen Enzyklopädisten aus dem 5. oder 6. Jahrhundert, hatte sich für die Schulen der Spätantike ein Kanon von sieben Fächern eingebürgert. Diesen unterteilte man in ein Trivium (Grammatik, Rhetorik und Dialektik bzw. Logik) und ein Quadrivium (Arithmetik, Geometrie, Astronomie, Musiktheorie). Man nannte diese Fächer die sieben freien Künste, weil sie eines „freien Menschen würdig“ seien, und „frei“ war ein Mann, wenn er frei war von der Notwendigkeit eines Broterwerbes. 

Im Mittelalter galt dieses Studium der freien Künste als Vorbereitung für wissenschaftliches Studium in Theologie, Jurisprudenz und Medizin. In den Universitäten wurden die freien Künste bald im Rahmen einer eigenen Fakultät, der Artistenfakultät (Facultas Artium) gelehrt. Die „Liberal Arts“, die wir aus den USA z.B. als „undergraduate studies“ kennen und die heutzutage mitunter auch z.B. in Deutschland eingeführt werden, versuchen diese Tradition fortzusetzen. Allerdings steht hier die Dialektik eher im Vordergrund als irgendeine der mathematischen Disziplinen. 

Aristoteles 

Bei Aristoteles, einem Schüler von Platon, fiel die strenge Ausbildung in der Platonischen Akademie auf besonders fruchtbaren Boden. Im Jahr -384 in Stageira (Chaldidike) in eine gebildete und begüterte Familie hinein geboren, wurde er im Jahre -367 mit 17 Jahren nach Athen in die Akademie Platons geschickt. Der Mathematiker Eudoxos von Knidos (ca. -395 bis ca. -350) spielte damals dort eine wichtige Rolle. 

Aristoteles liebte einerseits die Auseinandersetzung und Diskussion mit Andersdenkenden. Andererseits zeigte er – wie bei Menschen, an denen eine mathematische Ausbildung nicht spurlos vorbeigeht – eine Neigung zum systematischen Arbeiten und zum Sammeln der Lehrmeinungen früherer Philosophen wie Pythagoras oder Demokrit (Schupp, I 256).

Aristoteles wurde so ein großer Systematiker, aufmerksam auf Methodisches in einer Gedankenführung und wachsam für Zusammenhänge. Er war der Erste dieser Art, und er sollte damit auch eine ganz neue Art von Philosophie begründen, die nicht mehr eine Poiesis, eine „Herstellung“ von Lehrmeinungen in poeti- scher Manier ist. Stattdessen stehen Analyse und Methode im Vordergrund, Begründungen werden verlangt und auf Schlüssigkeit abgeklopft.

Es ist wohl plausibel, dass man den Drang zu Solchem verspürt, wenn man einen großen Korpus von Lehr- meinungen vor dem geistigen Auge hat und sich irgendwann fragt, wieso die jeweiligen Philosophen ihre Ansichten so fest vertreten können. Man muss aber auch in einer stimulierenden Umgebung leben und, vor allem, auch das Talent zu solch einem Neuanfang mitbringen. So ging Aristoteles in der Akademie bald eigene Wege. Nach Diogenes Laertius soll Platon dazu gesagt haben: „Aristoteles hat gegen mich ausgeschlagen, wie es junge Füllen gegen die eigene Mutter tun“ (Laertius, 2015, p. 225).

In der Liste der Schriften des Aristoteles führt Laertius 146 Titel auf und spricht von insgesamt 445 270 Zeilen. Die Arbeiten zur Logik sind nach ihm „aufs schärfste gekennzeichnet als Werkzeug für alle Teil- gebiete.“ Diese Schriften sind später in einer Sammlung von sechs Büchern mit dem Titel „Organon“ (gr. ὄργανον = Werkzeug) zusammengefasst worden. 

Das Organon 

Die Titel der sechs Bücher der Sammlung Organon heißen:
 
1. Die Kategorien,
2. Über die Deutung (peri hermeneias),
3. Die Lehre vom logischen Schluss (analytika protera, erste Analyse),
4. die Lehre vom Beweis (analytika hystera, zweite Analyse), 
5. die Topik und
6. die Sophistischen Widerlegungen 

Besonders bedeutsam für die Entwicklung des logischen Denkens sind die Bücher 3,4 und 5, also die Lehren vom logischen Schluss und vom Beweis sowie die Topik. Hier wird also die sogenannte Aristote- lische Logik entwickelt. Diese ist also die Frucht einer Zeit, in der die Dialektik einen hohen Rang in der Gesellschaft einnahm. Auch bei Diskussionen über grundsätzlichere Fragen wie die nach einem guten Leben oder einer „vernünftigen“ Moral kam es bald mehr auf die Kraft der Argumente an statt auf autori- täre Setzungen, und schließlich konnte es nicht ausbleiben, dass man direkt darüber nachdachte, welche Argumentationsformen denn nun solche Kraft besitzen, dass sie unanfechtbar sind, d.h. von jedem Verständigen akzeptiert werden müssen.

Die neue Ära der Philosophie mit ihrem Schwerpunkt auf der Dialektik hat also keinesfalls die Idee des Logos in den Hintergrund treten lassen oder seine Verbreitung behindert. Im Gegenteil, die Dialektik war genau das Gebiet, auf dem sich diese Idee sich als besonders nützliches und wertvolles Werkzeug für das Denken zeigen konnte. Die Idee konkretisierte sich in der Aristotelischen Logik, die eine Vorlage für eine Wissenschaft werden sollte, welche heute im Rahmen der künstlichen Intelligenz eine bedeutsame Rolle spielt. Im nächsten Blogbeitrag werde ich auf die Aristotelische Logik explizit eingehen. 

Aristoteles und das System der Wissenschaften
 
Die Begabung des Aristoteles zu analytischem Denken und zum systematischen Arbeiten sowie seine Leidenschaft zum Sammeln der Lehrmeinungen früherer Philosophen zeigte noch andere Früchte. Er stellt eine Systematik aller damals bekannten Wissenschaften auf. Er unterteilt die Wissenschaften in praktische wie die Ethik, in poietische (herstellende) Wissenschaften wie Medizin oder Handwerk und schließlich in theoretische Wissenschaften. Bei Letzteren unterscheidet er Mathematik, Naturforschung und „erste Philo- sophie“, zu der er Theologie, Ontologie und die Logik zählte. Die Theologie bestand damals im Wesentli- chen in einem Studium der unveränderlichen „göttlichen“ Sterne.

Diese Einteilung des Aristoteles ist gewissermaßen der erste „Kassensturz“ des Wissens einer Zeit und subsumiert alles, was Wissen schafft, unter Wissenschaft. Vermutlich zählte er die theoretischen Wissen- schaften Mathematik und Naturforschung auch zur Philosophie, wenn auch nicht zur „ersten“.
Etwa 500 Jahre später schreibt Diogenes von Laertius:
 
„Was die Teile der Philosophie angeht, so unterscheidet man drei: Physik, Ethik und Dialektik.“ (Laertius, 2015, p. 10), wobei hier Dialektik auch für die Lehre von den Denkprinzipien, also für Logik und allgemei- ner für Erkenntnistheorie steht. Damit war also die Ethik in die Philosophie eingewandert, die Mathematik ausgeschieden. Einen Denker wie Pythagoras, der Mathematik betrieb aber auch eine bestimmte Weltan- schauung mit religiöser Inbrunst vertrat, konnte es nicht mehr geben. Bedeutende Mathematiker der Antike, wie z.B. Euklid von Alexandria oder Archimedes von Syrakus, erscheinen nicht in dem Werk von Diogenes Laertius über Leben und Meinungen berühmter Philosophen – mit Ausnahme von Eudoxos von Knidos, der eine Zeit lang Mitglied der Akademie Platons war. Aber auch die Physik sollte aus der Philo- sophie auswandern, wenn auch erst etwa 2.000 Jahre später, als Galileo Galilei die Aristotelische Theorie der Bewegung überwand. Indem er demonstrierte, wie man Regelmäßigkeiten in der Natur in der Sprache der Mathematik beschreiben kann, entdeckte er eine „neue Wissenschaft“.  Die Naturforschung wurde zu einer modernen Physik. Mit den Folgen dieser Entdeckung werden wir uns noch ausgiebig beschäftigen. 

Schließlich wanderte Ende des 19. Jahrhunderts auch die Logik in Form der mathematischen Logik aus der Philosophie aus. Sie ist nun ein Teilgebiet der Mathematik und der Informatik. In heutiger Zeit beobachtet man sogar, wie die Erkenntnistheorie zu einem Gebiet der Kognitionswissenschaft wird, die sich nicht nur mit unserer Fähigkeit zu Denken beschäftigt, sondern mit allen bewussten und unbewussten Vorgängen in unserem Gehirn wie z.B. wahrnehmen, lernen oder erinnern.

Die Kosmologie, Thema der Vorsokratiker und erstes Thema der Philosophie überhaupt, ist heute ein Ge- biet der modernen Physik. Eine Geschichte der Kosmologie von den Vorsokratikern bis Hawking wäre hoch interessant: Die „Frage nach dem Ganzen“ ist im mythischen Denken entstanden und in dieser Form noch in allen Religionen präsent, und die Vorsokratiker begannen ja schon physikalische Gründe für ihre Vorstellungen zu suchen. Aber erst seit etwa 100 Jahren gibt es eine physikalische Kosmologie, in der streng der Logos regiert. Diese Kosmologie ist eine Rekonstruktion der Geschichte des Universums unter konsequenter Berücksichtigung physikalischer Theorien. Über die Entwicklung des Kosmos konnte man ja erst überzeugend erzählen, nachdem man die Phänomene der Natur auf der Basis verlässlicher Theorien verstanden hatte. Denn dieses Wissen stellte erst die nötigen Leitlinien für eine Geschichte des Universums dar, die nicht mehr eine mythische, sondern eine logische sein will. 


Nota. - Über den positiven Gehalt der Lehren von Plato und Aristoteles erfahren wir nichts. Das liegt am Darstellungsprinzip des Verfassers: Er berichtet von dem, was bei den antiken Autoren bis heute für Na- turwissenschaftler von Bedeutung ist; und das ist bei Plato fast nichts und bei Aristoteles im Wesentlichen die Logik. Dass metaphysische Spekulationen und ontologische Flausen noch immer das Denken manchen Naturwissenschaftlers heimsuchen, würde in eine kritische Darstellung gehören, die jedoch nicht in der Absicht des Verfassers liegt. Das wäre aber ein größerer Beitrag zur Bildung junger Naturwissenschaftler, als das Aufsammeln positiver Resultate, die sie ja doch schon im Rahmen ihrer naturwissenschaftlichen Fächer kennengelernt haben, und deren Rückführung auf antike Quellen. 

Denn das Wesentliche der Philosophie sind nicht ihre positiven Resultate, die eng an ihre Zeit gebunden sind, sonderen die großen umfassenden Weltsichten, in die sie eingefügt und aus denen sie entstanden waren.

Der Mangel tritt bereits im Bericht über die Vorsokratiker auf. Man erkennt ihn schon am Anfang an einem spektakulär Abwesenden: Heraklit. Man zählt ihn zu den ionischen Naturphilosophen, obwohl er über die Natur nicht spekuliert, weshalb Josef Honerkampt ihn übergeht. Erhalten sind von ihm rund 60 Fragmen- te, die nicht in Zusammenhang miteinander stehen und von denen viele nur als Satzbruchstücke überliefert sind. Er heißt noch heut Der Dunkle, denn was er im Einzelnen gemeint haben mag, ist ganz der Phantasie der Leser anheimgegeben. Doch der Kern seiner Weltansicht ist formuliert in jenem Satz, durch den er unsterblich ist: Alles fließt. Das einzig Wirkliche ist die flüchtige Erscheinung, das einzig Dauernde der Wechsel, es gibt nichts als das ewige Werden. Darin sieht er allerdings den logos walten, aber was er darunter verstanden hat, ist in den Fragmenten nicht einmal angedeutet (er scheint allerdings etwas mit dem Feuer zu tun zu haben).

Heraklit war ein Zeitgenosse des Xenophanes von Elea. Der mag von ihm nichts gewusst haben, aber sein Nachfolger Parmenides, der eigentliche Stifter der eleatischen Schule, müsste, obwohl am andern Ende der griechischen Welt angesiedelt, immerhin vom Grundmotiv seiner Lehre gehört haben. Jedenfalls liest sich fast jedes seiner viel reicher überlieferten Fragmente wie eine direkte Antwort auf Heraklit. Was ist, ist, Punktum. Was erscheint, scheint nur. Das wahre Sein ist der Anschauung verschlossen und nur dem Denken zugänglich. 

Zwischen diesen Polen oszilliert das abendländische Denken seither, und man kann die Geschichte der Philosophie auffassen als das unerschöpfliche Bemühen, Heraklit mit den Eleaten unter einen Hut zu bringen.

Zu allererst kann man Plato so auffassen und von den Zeitgenossen wurde er so aufgefasst, und sie haben ihm nachgesagt, in seiner Jugend sei er Herakliteer gewesen - was unser Autor nicht erwähnt. Und wirklich kann man das, was nach fast zweieinhalb Jahrtausenden noch immer als der harte Kern des Platonismus angesehen wird, die Ideenlehre, kaum anders lesen als den Versuch, Sein und Werden miteinander dialek- tisch zu vermitteln. Wobei in der Überlieferung das Schwergewicht eindeutig beim substanziellen Sein gelegen hat uind das Werden nur als Akzidens erscheint.

Und da wir schonmal so weit sind, noch ein paar Worte zu Aristoteles. Fast so wirksam wie Plato mit seinen Ideen, war jener mit seinen Entelechien, wenn auch mehr in der Vorstellung als im Begriff. Danach bestünde die Welt aus lauter Einzeldingen, Individuen, dem, was der Platoniker als Werden und Schein geringschätzte. Ein jedes Individuum ist mit seiner eigenen Bestimmung - telos, das Ziel, auf das es hinwill - ausgestattet, so dass an der Erscheinung des Werdens durchaus ein Wahres, Seiendes anschaulich wird. 

Während das christliche Denken des ersten Jahrtausend völlig von Plato und den Neuplatoniker beherrscht war, brachte die Wiederentdeckung des Aristoteles durch die Scholastiker den ersten großen Umsturz des abendlichen Geistes: Im Nominalismus feierte das Individuum triumphierend Wiederauferstehung, zum erstenmal wurde die Philosophie nicht nur untergründig und irgenwie "an sich", sondern ausdrücklich und polemisch kritisch, denn die von Plato vergöttlichten Begriffe wurden aus einmal zu bloßen Sammelnamen für einander ähnliche Dinge, von Menschen erdacht und nur für ihre Zwecke da. 

Ohne dies keine Renaissance und keine Neuzeit und keine Kopernikanische Wende.

Das Problem, vor dem Ariostoteles haltgemacht hatte: nämlich wie unter all diesen durcheinanderlaufenden Einzelzwecken am Ende ein zusammenhängender Kosmos zustande kommen konnte, war für die kirchen- gläubigen Scholastiker a priori gelöst. Man muss die Welt "nur" selber als eine Entelechie auffassen. Aber was sich dabei denken ließe, hätte Aristoteles nicht sagen können. Die christliche Lösung, der selbsterzeug- te Schöpfergott, stand ihm nicht zu Gebot. Sokrates war wegen Leugnung der griechischen Götter zm Tode verurteil worden. Und so kam schon zu Lebzeiten des Aristoteles das Gerücht auf, dieser habe neben der exoterischen Lehre, die er seinen Schülern öffentlich vorgetragen hat, seinen Auserwählten noch eine gehei- me esotetische Lehre mitgeteilt.

Alles hat seine Zeit. Mit Galileo, der Platos Ideen in die mathematische Auffassung von den Naturgesetzen umgeformt hat, ging die Scholastik unter. Leibniz hat dann allerdings in seinen Monaden die aristotelischen Entelechien zu neuem Leben erweckt und mit der prästabilierten Harmonie auch den Schöpfergott zu neuen Ehren bringen wollen; was aber nach dem 30jährigen Krieg ein aussichtsloses Unterfangen war.
JE

Philosophie für Naturwissenschaftler: Die Krise der Pythagoreer.

spektrum
aus spektrum.de, 17. Februar 2019

Die Vorsokratiker: Die Krise der Pythagoreer

Von Josef Honerkamp

 

Nachdem wir im letzten Blogbeitrag die Mathematik der Pythagoreer und anderer griechischer Philosophen der damaligen Zeit studiert haben, müssen wir uns jetzt damit beschäftigen, welche Schlüsse die Pythagore- er aus Ergebnissen ihrer Studien gezogen haben. Dazu müssen wir uns vorher noch die Gemeinschaft der Pythagoreer etwas anschauen, um auch das weitere Schicksal der pythagoreischen Philosophie zu verstehen.

 

Die Gemeinschaft der Pythagoreer

 

Die Gruppe um Pythagoras bestand keineswegs aus vorwiegend weltfremden Philosophen, die allein Freude an mathematischen Problemen hatten. Aus späteren antiken Quellen (Iamblichos, 3./4. Jhdt) erfährt man, dass es bei den Pythagoreern später zwei Gruppen gab: „Mathematiker hießen jene, welche mehr in den besonderen, und im Hinblick auf Exaktheit gepflegten Lehre seiner Wissenschaft unterrichtet worden waren, Akusmatiker, jene, welche nur die kurzgefassten Vorschriften ohne exakte Begründung vernommen hatten.“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 137, Nr.20).

Hier zeigte sich auch schon, wie soziale Trennungen entstehen: Für die Akusmatiker (ἄκουσμα = Akousma = auditive Wahrnehmung) waren die Mathematiker gar keine richtigen Pythagoreer. Andererseits verstanden sich die Mathematiker als eine Art „höherer“ Pythagoreer. Franz Schupp erwähnt in diesem Zusammenhang, dass es später bei den Gnostikern und frühen Christen auch eine ähnliche Unterscheidung gegeben habe: Es gab „Pistiker“, die einfachen Gläubigen, und „Gnostiker“, die eine höhere Einsicht haben oder solches nur behaupten (Schupp, 2003a, p. 67). In unserer Zeit sind es in den Religionen das „einfache Volk“ und auf der anderen Seite die Gruppe der Priester und Theologen.

Der Vergleich passt aber nicht in allen Aspekten. Man könnte es nämlich nicht unvernünftig nennen, wenn Pistiker oder Gläubige die Lehren der Gnostiker in Zweifel ziehen würden oder ganz vom Glauben abfielen. Sie wenden sich dann ja nur von den Setzungen bestimmter Autoritäten ab. Unvernünftig, also gegen die Vernunft handelnd, wäre es aber, wenn Akusmatiker mathematische Beweise grundsätzlich nicht anerkennen würden. Sie könnten sich höchstens so weit unterrichten lassen, dass sie fähig werden, die Beweise auf ihre Richtigkeit überprüfen zu können.

Beide Denkweisen, die dem Mythos wie die dem Logos nahestehende, gab es also in der Gemeinschaft und natürlich auch in einzelnen Köpfen. Und für spätere Zwecke ist es ratsam beim Mythos noch eine Unterscheidung zu treffen, nämlich in eine „rein philosophische“ Richtung, die eine Ähnlichkeit zwischen Strukturen der Natur und der Struktur mathematischer Begriffe, also zwischen den „Prinzipien des Mathematischen und die Prinzipien der seienden Dinge“ sahen, und in eine stark religiöse Richtung, die dieses Weltbild so weit interpretierte, dass man daraus strenge Regeln für das Leben und Zusammenleben folgern zu können glaubte. Zu dieser religiösen Richtung will ich auch die Seelenlehre zählen, die Zuordnung der Zahlen zu irgendwelchen Tugenden wie auch all die Vorschriften für das Leben, die man z.B. in der Liste von „Akusmata“ von Iamblichos findet (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 193, Nr.102).

Was ich von der Seelenlehre gesagt habe, soll natürlich allgemein von der religiösen Richtung des pythagoreischen Denkens gelten. Dieses soll hier keine Rolle spielen.

Die Prinzipien des Mathematischen und die Prinzipien der seienden Dinge

Wenn man sich einen Überblick über die Mathematik der frühen Griechen verschaffen will, dann muss man sich die Mühe machen, die „Elemente“ des Euklid von Alexandria zu studieren. Euklid muss dieses Lehrbuch in den Jahren um -300 geschrieben haben, und nach Proklos Diadochos (412 bis 485) hat er dabei „vieles aus Eudoxos verwendet, vieles von Theaitetos Behandelte zum Abschluss gebracht, und was von Früheren nur oberflächlich dargestellt war, durch unanfechtbare Beweise gestützt“. Ob das gerecht geurteilt ist, wissen wir nicht.

Auf jeden Fall müssen wir feststellen, dass unter den Mathematikern, die später in irgendwelchen Listen frühgriechischer Mathematiker auftauchen, nicht allzu viele Pythagoreer gewesen sind. Aus den pythagoreischen Gemeinschaften bzw. Bünden sind uns aber auf jeden Fall zwei Gruppen bekannt, deren Führer Philolaos (-470 bis -399) und Architas von Tarent (-428 bis -347) berühmte Mathematiker waren, und deren mathematische Ergebnisse heute noch bemerkenswert sind.

Von Philolaos wissen wir über den Sammler antiker philosophischer Schriften Stobaios (5. Jhdt.), welches Weltbild die Pythagoreer aus ihren mathematischen Studien abgeleitet haben. In einem der Fragmente, die uns von ihm überliefert sind, heißt es:

„Und es ist wahrhaft alles, was man erkennen kann, Zahl, denn es ist nicht möglich, irgendetwas zu verstehen oder zu erkennen ohne diese“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. S. 147, Nr.28).

Der Begriff der Zahl ist danach also die Grundlage einer jeden Erkenntnis. Wenn man etwas erkennen will, muss es quantitativ formulierbar sein. Und in der quantitativ formulierbareren Erkenntnis entdeckt man die Ordnung und die Harmonie der Welt. In einem anderen Fragment heißt es:

„Es wäre jedoch ausgeschlossen, dass eines von den Seienden und von uns Menschen erkannten Dingen entstanden wäre, wenn es nicht auch schon das Wesen der Dinge gäbe, aus dem die Welt zusammengesetzt ist: Das Wesen der Begrenzenden und Unbegrenzten. Da aber diese Prinzipien […] nicht gleich sind, [..] muss es notwendig durch eine derartige Harmonie zusammengeschlossen sein, wenn es in der Weltordnung enthalten sein will.“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 145, 27).

Mit dem Begriff der Zahl kommt auch das Unbegrenzte in den Blick. Aus der Tatsache, dass es die seienden Dinge gibt, muss man also folgern, dass dieses Unbegrenzte in Harmonie mit dem Begrenzten existiert. Es liegt nahe, dass es insbesondere die Entdeckung der rationalen Frequenzverhältnisse bei den Saiten z.B. des Tetrachords war, die hier die Verbindung von Zahlen mit einer Harmonie nahelegte. (Aristoteles, kein Datum) sagt dazu:

„Da sie nun auch darauf aufmerksam wurden, dass die Verhältnisse und Gesetze der musikalischen Harmonie sich in Zahlen darstellen lassen, und da auch alle anderen Erscheinungen eine natürliche Verwandtschaft mit den Zahlen zeigten, die Zahlen aber das erste in der gesamten Natur sind, so kamen sie zu der Vorstellung, die Elemente der Zahlen seien die Elemente alles Seienden und das gesamte Weltall sei eine Harmonie und eine Zahl.“

Wenn man einmal einen solchen Gedanken gefasst hat, sieht man in der Geometrie auch die Schönheit der regelmäßigen Polyeder durch die Beziehungen zwischen den dort vorliegenden Zahlen verursacht.

Die Pythagoreer gingen allerdings noch weiter. Aristoteles spottet darüber: „Was sich nur irgendwie an Übereinstimmungen zwischen den Zahlen und Harmonien einerseits und den Prozessen und Teilen des Himmelsgewölbes und dem gesamten Weltenbau andererseits auftreiben ließ, das sammelten sie und suchten einen Zusammenhang herzustellen; wo ihnen aber die Möglichkeit dazu entging, da scheuten sie sich auch nicht vor künstlichen Annahmen, um nur ihr systematisches Verfahren als streng einheitlich durchgeführt erscheinen zu lassen.“

Dazu führte er ein Beispiel an:

„Da sie die Zehn für die vollkommene Zahl halten und der Meinung sind, sie befasse die gesamte Natur der Zahlen in sich, so stellen sie die Behauptung auf, auch die Körper, die sich am Himmel umdrehen, seien zehn an der Zahl, und da uns nur neun in wirklicher Erfahrung bekannt sind, so erfinden sie sich einen zehnten in Gestalt der Gegenerde.“

Die Gegenerde hatte Philolaos erfunden. Man hatte auch ein Argument dafür parat, dass man diese nie sehen konnte: Sie sollte von der Erde aus gesehen immer genau hinter der Sonne stehen.

Man erinnert sich unwillkürlich an manche Hypothesen der Physik, z.B. an die Annahme Wolfgang Paulis, dass es ein bestimmtes Teilchen geben müsse, das bei dem Zerfall eines Neutrons eine bestimmte Energie mit sich führt, so dass die Erhaltung der Energie auch hier bestätigt werden konnte. Der Unterschied ist aber ganz wesentlich: Zu Zeiten Paulis war die Hypothese ein Auftrag zur Nachprüfung, bei Philolaos war eine Überprüfung nicht denkbar. Es war also reine Metaphysik.

Die Krise: Inkommensurable Größen statt Zahlen

Aber nicht von diesen und anderen nicht überprüfbaren Aussagen drohte den Pythagoreer Unheil mit ihrer Philosophie. Dieses kam mit einer Entdeckung, die im Kern ihre Philosophie erschütterte. Um das zu verstehen, muss man ein wenig ausholen:

Die Pythagoreer kannten die natürlichen Zahlen {1,2,3,…} und die positiven rationalen Zahlen, also Verhältnisse von natürlichen Zahlen wie 3/4 oder 2/5. Da diese Zahlen die Beschaffenheit der Welt wiederspiegeln sollten, mussten auch alle Dinge ein Maß besitzen, das sich durch diese Zahlen ausdrücken lässt. Die Länge einer Strecke z.B. musste sich durch ein Vielfaches einer Einheitslänge ausdrücken lassen und für zwei Strecken musste es immer eine gemeinsame Einheitslänge geben. In Zahlen ausgedrückt: Es musste einen gemeinsamen Teiler g für zwei Zahlen geben, so dass die beiden Zahlen m und n als ganzzahliges Vielfaches von g darstellbar ist. Der größte dieser Teiler heißt dann sinnigerweise „größter gemeinsamer Teiler“ (GGT). Man denke an die Schulzeit. Für die Pythagoreer mussten also alle Strecken in diesem Sinne „kommensurabel“ sein, ja, alle Dinge der Welt mussten kommensurabel sein, also ein gemeinsames Maß haben. Denn die Zahlen regieren die Beschaffenheit der Welt.

Die antiken Griechen hatten sogar einen Algorithmus gefunden, mit dem sie leicht den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlichen Zahlen ausrechnen konnten. In Abb. 1 wird dieser demonstriert:

Abb. 1: Der Algorithmus der Wechselwegnahme zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von 44 und 12: Man zieht von der größeren Zahl, hier 44, so oft die kleinere Zahl , (hier 12), ab, bis der Rest kleiner n ist. Dann ist nun n (=12) die größere Zahl und man wiederholt das Spiel – solange bis sich dadurch Null ergibt. Die letzte Zahl, die man dafür abziehen muss, hier 4, ist der größte gemeinsame Teiler bzw. das gemeinsame Maß.

 

 

Dieses Verfahren wird als „Wechselwegnahme“ bezeichnet und findet sich in Euklids „Elementen“; aber schon die Pythagoreer sollen diesen Algorithmus gekannt haben.

Nun kannten die Griechen aber auch, und die Pythagoreer schon gar, den so genannten Satz des Pythagoras. In einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Diagonale eine Länge, deren Quadrat nach diesem Satz gleich 1² + 1² = 2 ist. Sie kannten aber keine Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Seitenlänge und Diagonale können also nicht kommensurabel sein.

Wenn jemand noch an irgendeinen Ausweg sucht, kann man ihn mit einem strengen Beweis überzeugen:

Nennen wir die Größe, deren Quadrat gleich 2 ist, schon einmal , so wie wir es heute tun, und stellen die Behauptung auf, dass sich diese Größe als Zahl im Sinne der antiken Griechen, also als ein Verhältnis von natürlichen Zahlen darstellen lässt. Dann gilt also

\sqrt(2) =  mDie Zahlen m und n kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit so wählen, dass die Aussage

Die Zahlen m und n kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit so wählen, dass die Aussage

A:= „m und n sind teilerfremd“ 

wahr ist. Quadrieren der Gleichung ergibt

2 = m²/n², also auch m² = 2·n²

Darauf folgt, dass m eine gerade Zahl ist, dass man also m = 2·k schreiben kann, somit auch m² = 4·k² ist. Damit gilt mit Hilfe der vorherigen Gleichung auch 4·k² = 2·n², also n² = 2·k², was nun schließlich heißt, dass n wie n² durch 2 teilbar ist. Also: m und auch n sind durch 2 teilbar.


Insgesamt kommen wir so zum Schluss, dass m und n nicht teilerfremd sind, d.h. die Aussage A ist falsch, obwohl sie als wahr angenommen wurde. Dann kann A nicht wahr sein. Denn aus einer wahren Aussage kann man nie logisch schließen, dass sie falsch ist. Das ist einleuchtend. In einem späteren Blogbeitrag werde ich diesen logischen Schluss streng formal im Rahmen einer so genannten Aussagenlogik zeigen.

Das Verhältnis 1 lässt sich also nicht als ein Verhältnis natürlicher Zahlen m/n darstellen.  Eine natürlichen Zahl und eine Größe wie [?]  haben also kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel. 

Die Größe  wurde bis in die Neuzeit nicht als Zahl akzeptiert. Solche nicht-rationalen, als irrationalen Zahlen wurden höchstens als „unmögliche“ oder „eingebildete“ Zahlen gesehen. Man konnte zwar mit ihnen rechnen, ihr Quadrat war nun einmal gleich 2, aber man konnte diese Größen nie vollständig hinschreiben, wie es sich „für eine Zahl gehörte“. Erst Ende des 19.Jahrhunderts lernte man, den Zahlbegriff so zu definieren, dass auch irrationale Größen als eine besondere Klasse von Zahlen akzeptiert werden konnten.

Diese Entdeckung, dass es in der Natur Strecken geben kann, deren Länge sich nicht als eine rationale Zahl darstellen lässt, hat die Pythagoreer stark erschüttert. Dieses Wissen müsse geheim bleiben, so glaubte man. Iamblichos (245 bis 325) kolportiert in seinem Buch Über das pythagoreische Leben die Geschichte, dass jemand diese Entdeckung ausgeplaudert haben soll. Dieser sei dann aus dem gemeinsamen Kreis ausgeschlossen worden und später sei er gar im Meer umgekommen (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 171, Nr.61,62). Wie alle Anekdoten aus dieser Zeit kann man auch diese zur Unterhaltung einstreuen. Glauben muss man sie nicht.

Das Erbe der Pythagoreer

Die antiken Griechen waren die Ersten, die aus dem mathematischen Wissen, das ihnen von früheren Völkern überliefert worden war, eine Wissenschaft machten. Sie fanden nicht nur interessante Beziehungen zwischen mehreren Zahlen sowie zwischen Zahlen und geometrischen Figuren, Körpern und Klängen. Noch viel bedeutsamer ist, dass sie eine Argumentation entdeckten, die unanfechtbar ist, also das darstellt, was wir heute einen mathematischen Beweis nennen.

Euklid von Alexandria hat dieses Wissen gesammelt und in eine logische Ordnung gebracht. In dieser Ordnung werden Definitionen und Axiome an den Anfang gestellt, und daraus wird das ganze Wissen in Form mathematischer Beweise abgeleitet. Ein „axiomatisch deduktives System“ wurde damit geschaffen. Damit war schon in der Zeit um -300 die Idee einer strengen Wissenschaft nicht nur geboren, sondern auch schon einmal realisiert worden ist. Diese Idee inspiriert bis heute alle, die sich Gedanken darüber machen, was eine Wissenschaft eigentlich ausmacht. In Die Idee einer Wissenschaft – Ihr Schicksal in Physik, Rechtwissenschaft und Theologie habe ich das weiter ausgeführt (Honerkamp, 2017).

Auch in den Jahren nach Euklid ist die Mathematik der Griechen weiter vorangeschritten. Mit Archimedes (ca. -287 bis -212) hat sie dann einen vorläufigen Höhepunkt erreicht. Aber Wissenschaftshistoriker sprechen von ersten Anzeichen des Schwindens kreativer Kräfte schon in den nächsten Jahrhunderten (Russo, 2005).

Pythagoras und die Pythagoreer gaben im antiken Griechenland den Anstoß zu dieser ersten Blüte einer Wissenschaft. Allerdings: Mit ihrer Lehre von der Harmonie übertrieben sie es, ihr religiöser Eifer einschließlich ihrer Vorschriften für den Lebenswandel wirkt heute auf uns höchst befremdlich, mitunter skurril. Mit ihrer Vorstellung von den Zahlen als Grundmuster für die Natur scheiterten sie.

Dennoch waren sie auf der richtigen Spur. Erst im zweiten Anlauf, 2.000 Jahr später, sollte sich eine Verbindung von Mathematik und Naturforschung ergeben, die dann aber zu einem Verständnis der Natur führte, aus dem heraus die Menschen höchst segens- wie auch schreckensreiche Instrumente entwickeln konnten. 


Nota. - Sie werden finden, der Beitrag sei zu fachlich, um wirklich in mein Blog zu passen. Und ich gebe zu, dass ich selber nicht genug von Mathematik verstehe, um ihn beurteilen zu können. Allerdings bin ich mir nicht sicher, dass man selber Mathematiker sein muss, um die Grundfrage, an die uns der Autor heran- führen will - ob nämlich die Welt wirklich nach mathematischen Mustern aufgebaut ist -, erörtern zu können.

• Wurde die Mathematik entdeckt oder erfunden?

Schon, ob der Siegesszug der Mathematik in der Natgurwissenschaft seit Newton unmittelbar auf die Pythagoreer zurückzuführen ist, ist fraglich. Durch schriftliche Zeugnisse haben sie auf die Nachwelt ja eben nicht gewirkt. Die Wirkung geschah über die ersten Jahrhunderte durch mündliche Initiation - mit den vom Verfasser nicht verschwiegenen mystifizierenden Beigaben; und später über bloßes Gerücht.

Die faktische Verbindung physikalischer Forschung mit der Mathematik geschah durch Galileo, der aber nicht an pythagoreische Geheimwissenschaft anknüpfte, sondern ausdrücklich an Plato und insbesondere dessen Ideenlehre. Platos Hochschätzung des Erkenntniswerts der Mathematik begründete die Annahme seiner Zeitgenossen, er sei in seiner Jugend Pythagoreer gewesen, bevor er sich dem Heraklit verschrieben hätte. Aber das ist unbezeugte Überlieferung unterhalb der Schriftschwelle - wie alles, was man sonst über die Pythagoreer zu wissen meint.

Ich fürchte fast, der Autor will uns mit einer (unsicheren) historischen Herleitung eine (grundlose) sachliche Herleitung unterjubeln. Ich bin gespannt, wie's weitergeht. 
JE

Wurde die Mathematik entdeckt oder erfunden?

Wurde die Mathematik aus der Natur heraus-gefunden… 
…oder vom Menschenhirn in sie hinein-gedacht?

aus Die Wendeltreppe - Philosophische Propädeutik

Erst mit Galileo ging, streng genommen, das mythische Zeitalter zu Ende. “Der Mythos braucht keine Fragen zu beantworten. Er erfindet, bevor die Frage akut wird und damit sie nicht akut wird.”(Hans Blumenberg). Seit Galileo stellen die Wissenschaften nicht nur Fragen, sondern beantworten sie auch, und jede Antwort wirft (mindestens) eine neue Frage auf.

Das Buch der Natur sei in der Sprache der Mathematik geschrieben, hatte Galileo verkündet. Das ist seither zum Gemeinplatz westlicher Bildung geworden. Descartes hatte die Welt in zwei Substanzen zerteilt, eine res extensa, die Materie, die sich durch ihre räumliche Ausdehnung zu erkennen gibt, und die res cogitans, den Geist, der außerhalb von Raum und Zeit ist. Doch eines ist ihnen gemeinsam: die mathematische Struktur, und an der erkennt man ihre gemeinsame Abkunft vom selben Schöpfergott. Spinoza tat die beiden Teile wieder zusammen, bei ihm ist es die eine, geistige Substanz, die sich selber ausdehnt, “deus sive natura”, und wie tut sie das? “More geometrico”, auf geometrische Weise! War bei Descartes Gott ein Mathematiker, so ist die Gottnatur bei Spinoza Mathematik. Isaac Newton, der erste Systematiker der modernen Physik, betitelte sein Hauptwerk ” Philosophiae naturalis principia mathematica”, die mathematischen Grundlagen der Naturphilosophie. Und Leibniz endlich, der die strenge Naturwissenschaft in Deutschland eingeführt hat, überlegte ernstlich, ob nicht Gott selber in mathematischen Formel dächte.

Die Herrschaft des Rationalismus war Herrschaft der Metaphysik. Die Metaphysik sei aus der abendländischen Wissenschaft inzwischen vertrieben? Nur die metaphysische Verpackung ist gefallen. Der Kern bleibt. Der Einfall, die Gesetze der Mathematik seien gleichzeitig die Gesetze der Vernunft und der Natur, bedarf keiner zusätzlichen Metaphysik. Er ist selber metaphysisch.

Die Mathematik ist nicht, wie unsere eigne Schullaufbahn vermuten macht, aus dem kleinen Einmaleins hervorgegangen. Zwar hatten die Babylonier ihr Interesse auf die Arithmetik konzentriert; aber sie dienten ihnen nur zur Astrologie. Mathematik entstand erst, als die Griechen Thales und Pythagoras die Zahlen in den Dienst der Geometrie, der Anschauung räumlicher Verhältnisse nahmen. Das Leitbild der Mathematik – die vollkommene Gestalt – ist ästhetisch. Ihre Verfahren sind Anschauung und Konstruktion. Auf etwelche sinnliche Erfahrung – über die man streiten könnte – ist sie nicht angewiesen. Sie begründet sich aus sich selbst, und nur so konnte sie zur Grundlage der allgemeinen wissenschaftlichen Methode werden.

Aber ist nicht gerade die Geometrie aus den Dingen der Welt abgeschaut?! 

Plato kannte fünf vollkommene Körper: Kugel, Würfel, Pyramide; Zylinder, Konus.

Es sind die jeweiligen dreidimensionalen Kombinationen von Kreis, Quadrat und Dreieck. Drei Dimensionen sind ‘vollkommener’ als zwei, bzw. Körper sind vollkommener als Flächen.

Hat man eines von denen ‘von der Natur abgeschaut’? Mehr oder minder runde Formen kommen in ‘der Natur’ vor; Kugeln nicht. Kugel ‘entsteht’ als Idee des vervollkommneten ‘runden’ Körpers. Wobei Vollkommenheit eben keine logische, sondern eine anschauliche, eine ästhetische Qualität ist! Finden sich Würfel, Pyramiden, Zylinder usw. in der Natur vor? Es finden sich Formen, die wie fehlerhafte Annäherungen aussehen. Damit sie so aussehen können, müssen die reinen Formen dem inneren Auge aber schon gewärtig sein. Und das geht nur, wenn das innere Auge die Konstruktion aus Kreis, Quadrat und Dreieck schon vorgenommen hat! Das ist eine erhebliche Abstraktions- und Reflexionsleistung.

(Abstraktion und Reflexion sind nur zwei Sichtweisen auf denselben Denkakt: Absehen auf das jeweils Wichtige ist zugleich Absehen von dem jeweils Unerheblichen.)

Denn zuvor mussten vor dem inneren Auge die Flächen selber konstruiert werden! Allein den vollkommenen Kreis kann man in der Außenwelt sehen – am wolkenlosen Himmel.

Es ist ja denkbar, dass der Anblick des einzig perfekten Kreises – der Sonnenscheibe – und ihrer imperfekten Parodie, des Mondes – den Anlass zur Idee anschaulicher Vollkommenheit gegeben hat; aber eine erfahrungsmäßige Abstraktion aus dem Anblick vieler perfekten Kreise war es nicht: weil es nur diesen einen gibt; und eine Reihe imperfekter Karikaturen – die werdenden und vergehenden Ringe auf dem Wasser usw… Nachgemacht werden kann dieser eine perfekte Kreis aber nicht auf ‘anschaulichem’ Weg; er muss konstruiert werden aus Punkt und Radius: wieder eine Abstraktionsleistung.

Die andern beiden Grundformen finden sich nicht in perfekter Gestalt in den Natur vor. Sie müssen – vielleicht in anschaulicher Analogie zur Sonnenscheibe – erdacht werden, um bemerken zu können, dass sich in der Natur… unvollkommene Annäherungen vorfinden.

Und erst nach all dem können die fünf perfekten Körper erdacht werden; und kann man sich einbilden, diese Idealentwürfe lägen ihren unvollständigen natürlichen Nachbildungen “in Wahrheit” zu Grunde; in einer verborgenen Wahrheit selbstverständlich.

Die Arithmetik hat ältere Wurzeln, die bis zu den Babyloniern zurückreichen. Ist nun die Zahl ein “Naturverhältnis”? Beruht sie nicht darauf, dass die Dinge ‘im Raum’ eine Grenze haben und man sie neben einander stellen und also zählen kann? Das sieht nur so aus. Tatsächlich zählen wir die Dinge nicht neben-, sondern nach einander! Und das geschieht in der Zeit. 

Paläoanthropologen haben aus frühester Vorzeit Stäbchen geborgen, die in regelmäßigen Abständen mit Kerben versehen sind. Sie interpretieren sie als Zählstäbe, die Vorläufer der Zahlensysteme; nämlich so, dass ihre Hersteller den Daumennagel auf die erste Kerbe gehalten haben: “zuerst…”; auf die zweiter Kerbe: “dann…”; dritte Kerbe: “und danach…”. Da wird das zeitliche Nacheinander der Zahlen archäologisch sinnfällig!

Und wem die erwähnten Zählstäbe der Paläontologen als Indiz zu dürftig scheinen, der kann es ja mit einem Gedankenexperiment versuchen.

Was immer Zahlen sonst auch noch sein mögen, eins sind sie ganz bestimmt: Zeichen. Was muss man bezeichnen? Etwas, das man nicht stets vor Augen hat und doch ‘behalten’ will. Denn auf alles andere kann man mit dem Finger zeigen. Kleine Mengen hat man stets vor Augen: 3 Äpfel, 4 Beine usw. Bezeichnen müsste man größere Mengen. Mit welchen größeren Mengen könnten aber unsere Vorfahren – ihres Zeichens Jäger und Sammler – regelmäßig zu tun gehabt haben? So regelmäßig, dass sie sie dauerhaft bezeichnen mussten?!

Sie waren Nomaden; große Vorräte kannten sie nicht. Bleibt also übrig – die Zeit. Die Zeiträume müssen bezeichnet werden: wie viele Tage bis Vollmond, Sonnenwende und Tag- und Nachtgleiche, Jahreszeiten, Jahre… Gerade Nomaden, die ihr Leben buchstäblich durch Zeit und Raum führen, müssen mental Zeiträume ‘vorweg nehmen’ können, müssen wissen, ‘wie lange wir brauchen bis…’ – z. B. bis zur nächsten Wasserstelle. Denn solange sie keine Wanderkarten und keine Tachometer haben, können sie Wege nur als Zeit darstellen. (Noch im Mittelalter wurden Ackergrößen als ‘Tagewerke’ gemessen.)

Sagt nicht aber schon der gesunde Menschenverstand, dass eins und ein zwei sind? ‘Ursprünglich’, d. h. in unmittelbarer sinnlicher Anschauung, kommen Zahlen nur als Ordnungszahlen vor: als Nacheinander in einem ‘an sich’ ununterschiedenen Zeitverlauf: erstens, zweitens, drittens… zählen kann ich so noch nicht. Denn es könnte bedeuten: erstens ein Lufthauch, zweitens ein Elefant, drittens eine Untertasse. Um aus den Momenten im Zeitverlauf ein Werkzeug (”Denkzeug”) zum Zählen zu machen, muss ich von der Zeit selber absehen und auf die zu zählenden Sachen reflektieren.

Vorab: Warum, wozu sind sie ‘zu’ zählen? Es braucht zunächst einmal eine Absicht; zum Beispiel die Absicht, Sachen zu verteilen. Ich verteile Sachen, die ‘in einer gewissen Hinsicht’ gleich sind, auf so und so viele Posten, die ihrerseits in gewisser Hinsicht gleich sind; zum Beispiel Essbares an Hungrige. Ich muss aus der Mannigfaltigkeit der Sachen dasjenige heraus suchen, das sich unter der Bedeutung des Essbaren zusammenfassen lässt. Danach muss ich auf diejenigen achten, die mir als hungrig bekannt sind. Erst dann kann ich aus den Ordnungszahlen erstens, zweitens, drittens… die Zahlen 1, 2, 3… abstrahieren.
 
Und erst, nachdem all diese Denkleistungen vollbracht wurden, kann von “Erfahrung” geredet werden. Erfahrung ist nicht das bloße Registrieren von Erlebensdaten, sondern ihre sinnvolle Unterscheidung und Anordnung. Die Absicht geht voraus. Ohne vorgängige Absicht keine vorfindliche Bedeutung.

V. Wurde die Mathematik aus der Natur heraus-gefunden oder vom Menschenhirn in sie hinein-gedacht?

aus Die Wendeltreppe

  

Erst mit Galileo ging, streng genommen, das mythische Zeitalter zu Ende. “Der Mythos braucht keine Fragen zu beantworten. Er erfindet, bevor die Frage akut wird und damit sie nicht akut wird.”(Hans Blumenberg). Seit Galileo stellen die Wissenschaften nicht nur Fragen, sondern beantworten sie auch, und jede Antwort wirft (mindestens) eine neue Frage auf.

Das Buch der Natur sei in der Sprache der Mathematik geschrieben, hatte Galileo verkündet. Das ist seither zum Gemeinplatz westlicher Bildung geworden. Descartes hatte die Welt in zwei Substanzen zerteilt, eineres extensa, die Materie, die sich durch ihre räumliche Ausdehnung zu erkennen gibt, und die res cogitans, den Geist, der außerhalb von Raum und Zeit ist. Doch eines ist ihnen gemeinsam: die mathematische Struktur, und an der erkennt man ihre gemeinsame Abkunft vom selben Schöpfergott. 

Spinoza tat die beiden Teile wieder zusammen, bei ihm ist es die eine, geistige Substanz, die sich selber ausdehnt, “deus sive natura”, und wie tut sie das? “More geometrico”, auf geometrische Weise! War bei Descartes Gott ein Mathematiker, so ist die Gottnatur bei Spinoza Mathematik. Isaac Newton, der erste Systematiker der modernen Physik, betitelte sein Hauptwerk ” Philosophiae naturalis principia mathematica”, die mathematischen Grundlagen der Naturphilosophie. Und Leibniz endlich, der die strenge Naturwissenschaft in Deutschland eingeführt hat, überlegte ernstlich, ob nicht Gott selber in mathematischen Formel dächte.

Die Herrschaft des Rationalismus war Herrschaft der Metaphysik. Die Metaphysik sei aus der abendländischen Wissenschaft inzwischen vertrieben? Nur die metaphysische Verpackung ist gefallen. Der Kern bleibt. Der Einfall, die Gesetze der Mathematik seien gleichzeitig die Gesetze der Vernunft und der Natur, bedarf keiner zusätzlichen Metaphysik. Er ist selber metaphysisch.

Die Mathematik ist nicht, wie unsere eigne Schullaufbahn vermuten macht, aus dem kleinen Einmaleins hervorgegangen. Zwar hatten die Babylonier ihr Interesse auf die Arithmetik konzentriert; aber sie dienten ihnen nur zur Astrologie. Mathematik entstand erst, als die Griechen Thales und Pythagoras die Zahlen in den Dienst der Geometrie, der Anschauung räumlicher Verhältnisse nahmen. Das Leitbild der Mathematik – die vollkommene Gestalt – ist ästhetisch. Ihre Verfahren sind Anschauung und Konstruktion. Auf etwelche sinnliche Erfahrung – über die man streiten könnte – ist sie nicht angewiesen. Sie begründet sich aus sich selbst, und nur so konnte sie zur Grundlage der allgemeinen wissenschaftlichen Methode werden.

Aber ist nicht gerade die Geometrie aus den Dingen der Welt abgeschaut?! 

Plato kannte fünf vollkommene Körper:* Kugel, Würfel, Pyramide; Zylinder, Konus.

Es sind die jeweiligen dreidimensionalen Kombinationen von Kreis, Quadrat und Dreieck. Drei Dimensionen sind ‘vollkommener’ als zwei, bzw. Körper sind vollkommener als Flächen.
Hat man eines von denen ‘von der Natur abgeschaut’? Mehr oder minder runde Formen kommen in ‘der Natur’ vor; Kugeln nicht. Kugel ‘entsteht’ als Idee des vervollkommneten ‘runden’ Körpers.
Wobei Vollkommenheit eben keine logische, sondern eine anschauliche, eine ästhetische Qualität ist! 

Finden sich Würfel, Pyramiden, Zylinder usw. in der Natur vor? Es finden sich Formen, die wie fehlerhafte Annäherungen aussehen. Damit sie so aussehen können, müssen die reinen Formen dem inneren Auge aber schon gewärtig sein. Und das geht nur, wenn das innere Auge die Konstruktion aus Kreis, Quadrat und Dreieck schon vorgenommen hat! Das ist eine erhebliche Abstraktions- und Reflexionsleistung.

(Abstraktion und Reflexion sind nur zwei Sichtweisen auf denselben Denkakt: Absehen auf das jeweils Wichtige ist zugleich Absehen von dem jeweils Unerheblichen.)

Denn zuvor mussten vor dem inneren Auge die Flächen selber konstruiert werden! Allein den vollkommenen Kreis kann man in der Außenwelt sehen – am wolkenlosen Himmel.

Es ist ja denkbar, dass der Anblick des einzig perfekten Kreises – der Sonnenscheibe – und ihrer imperfekten Parodie, des Mondes – den Anlass zur Idee anschaulicher Vollkommenheit gegeben hat; aber eine erfahrungsmäßige Abstraktion aus dem Anblick vieler perfekten Kreise war es nicht: weil es nur diesen einen gibt; und eine Reihe imperfekter Karikaturen – die werdenden und vergehenden Ringe auf dem Wasser usw… Nachgemacht werden kann dieser eine perfekte Kreis aber nicht auf ‘anschaulichem’ Weg; er muss konstruiert werden aus Punkt und Radius: wieder eine Abstraktionsleistung.

Die andern beiden Grundformen finden sich nicht in perfekter Gestalt in den Natur vor. Sie müssen – vielleicht in anschaulicher Analogie zur Sonnenscheibe – erdacht werden, um bemerken zu können, dass sich in der Natur… unvollkommene Annäherungen vorfinden.

Und erst nach all dem können die fünf perfekten Körper erdacht werden; und kann man sich einbilden, diese Idealentwürfe lägen ihren unvollständigen natürlichen Nachbildungen “in Wahrheit” zu Grunde; in einer verborgenen Wahrheit selbstverständlich.

Die Arithmetik hat ältere Wurzeln, die bis zu den Babyloniern zurückreichen. Ist nun die Zahl ein “Naturverhältnis”? Beruht sie nicht darauf, dass die Dinge ‘im Raum’ eine Grenze haben und man sie neben einander stellen und also zählen kann? Das sieht nur so aus. Tatsächlich zählen wir die Dinge nicht neben-, sondern nach einander! Und das geschieht in der Zeit.

Paläoanthropologen haben aus frühester Vorzeit Stäbchen geborgen, die in regelmäßigen Abständen mit Kerben versehen sind. Sie interpretieren sie als Zählstäbe, die Vorläufer der Zahlensysteme; nämlich so, dass ihre Hersteller den Daumennagel auf die erste Kerbe gehalten haben: “zuerst…”; auf die zweiter Kerbe: “dann…”; dritte Kerbe: “und danach…”. Da wird das zeitliche Nacheinander der Zahlen archäologisch sinnfällig!

Und wem die erwähnten Zählstäbe der Paläontologen als Indiz zu dürftig scheinen, der kann es ja mit einem Gedankenexperiment versuchen.

Was immer Zahlen sonst auch noch sein mögen, eins sind sie ganz bestimmt: Zeichen. Was muss man bezeichnen? Etwas, das man nicht stets vor Augen hat und doch ‘behalten’ will. Denn auf alles andere kann man mit dem Finger zeigen. Kleine Mengen hat man stets vor Augen: 3 Äpfel, 4 Beine usw. Bezeichnen müsste man größere Mengen. Mit welchen größeren Mengen könnten aber unsere Vorfahren – ihres Zeichens Jäger und Sammler – regelmäßig zu tun gehabt haben? So regelmäßig, dass sie sie dauerhaft bezeichnen mussten?!

Sie waren Nomaden; große Vorräte kannten sie nicht. Bleibt also übrig – die Zeit. Die Zeiträume müssen bezeichnet werden: wie viele Tage bis Vollmond, Sonnenwende und Tag- und Nachtgleiche, Jahreszeiten, Jahre… Gerade Nomaden, die ihr Leben buchstäblich durch Zeit und Raum führen, müssen mental Zeiträume ‘vorweg nehmen’ können, müssen wissen, ‘wie lange wir brauchen bis…’ – z. B. bis zur nächsten Wasserstelle. Denn solange sie keine Wanderkarten und keine Tachometer haben, können sie Wege nur als Zeit darstellen. (Noch im Mittelalter wurden Ackergrößen als ‘Tagewerke’ gemessen.)

Sagt nicht aber schon der gesunde Menschenverstand, dass eins und ein zwei sind? ‘Ursprünglich’, d. h. in unmittelbarer sinnlicher Anschauung, kommen Zahlen nur als Ordnungszahlen vor: als Nacheinander in einem ‘an sich’ ununterschiedenen Zeitverlauf: erstens, zweitens, drittens… zählen kann ich so noch nicht. Denn es könnte bedeuten: erstens ein Lufthauch, zweitens ein Elefant, drittens eine Untertasse. Um aus den Momenten im Zeitverlauf ein Werkzeug (”Denkzeug”) zum Zählen zu machen, muss ich von der Zeit selber absehen und auf die zu zählenden Sachen reflektieren.

Vorab: Warum, wozu sind sie ‘zu’ zählen? Es braucht zunächst einmal eine Absicht; zum Beispiel die Absicht, Sachen zu verteilen. Ich verteile Sachen, die ‘in einer gewissen Hinsicht’ gleich sind, auf so und so viele Posten, die ihrerseits in gewisser Hinsicht gleich sind; zum Beispiel Essbares an Hungrige. Ich muss aus der Mannigfaltigkeit der Sachen dasjenige heraus suchen, das sich unter der Bedeutung des Essbaren zusammenfassen lässt. Danach muss ich auf diejenigen achten, die mir als hungrig bekannt sind. Erst dannkann ich aus den Ordnungszahlen erstens, zweitens, drittens… die Zahlen 1, 2, 3… abstrahieren.

Und erst, nachdem all diese Denkleistungen vollbracht wurden, kann von “Erfahrung” geredet werden. Erfahrung ist nicht das bloße Registrieren von Erlebensdaten, sondern ihre sinnvolle Unterscheidung und Anordnung. Die Absicht geht voraus. Ohne vorgängige Absicht keine vorfindliche Bedeutung.

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*) Da hat mir mein Gedächtnis einen Streich gespielt: Plato definiert seine vollkommenen Körper im Timaiosviel komplizierter - aber noch eindeutiger ästhetisch. [Jan. 2014]

zurück: IV: Wissenschaft ist öffentliches Wissen, punctum.

weiter: Ist die Welt logisch aufgebaut? 

IV: Wissenschaft ist öffentliches Wissen, punctum.

aus Die Wendeltreppe

Anatomiesaal der Universität Padua

Dass also Galileo sich (gegen die aristotelische mittelalterliche Scholastik) ausdrücklich auf die PhilosophiePlatos zurück besann und dessen Lehre von den ewigen “Ideen” umformte in die Vorstellung von “Natur- gesetzen”, das war die materiale Voraussetzung der modernen Wissenschaften. Die formale Voraussetzung war: Kritizität, und auch die hatte die Philosophie begründet. Der Rahmen, in dem Philosophie seit ihren Anfängen Statt findet, ist Öffentlichkeit.

Öffentlichkeit und Kritik, Kritik und Öffentlichkeit, das ist schlechterdings dasselbe. Philosophie wird nicht privat betrieben, sondern im Dialog mit dem anders Denkenden. Heraklit polemisierte gegen den gesunden Menschenverstand, Parmenides polemisierte gegen Heraklit, die Sophisten gegen Parmenides, Plato gegen die Sophisten. Und immer so weiter. Es entstehen Schulen, Akademien und freilich auch geheime Orden und Sekten wie Stoiker und Pythagoreer. Aber das Entscheidende: Sie alle konkurrieren auf dem freien Markt der Ideen.

Das gilt auch, allen Vorurteilen zum Trotz, von der Philosophie des “finsteren” Mittelalters. Zwar galt sie damals als “Magd der Theologie” (ancilla theologiae), aber es kommt schon darauf an, wie Kant später bemerkte, ob die Magd der gnädigen Frau die Schleppe hinterher trägt oder ihr mit dem Licht voran den Weg weist! Und der wesentlich Beitrag der Scholastiker zum Aufkommen der modernen Wissenschaften war, dass sie ihnen ihr Medium geschaffen haben: die “Gelehrtenrepublik” (res publica eruditorum) an den Universitäten von Palermo bis Uppsala, von Dublin bis Wilna, wo nur eine Sprache, Latein, gesprochen wurde, und keiner etwas von sich geben konnte, ohne dass es nicht gleich auf dem (damals) schnellsten Wege von allen andern einer kritischen Sichtung unterzogen wurde. Und die waren in ihrer Kritik nicht zimperlich! Erst so ist das Wissen zu einer gesellschaftlichen Instanz geworden. Erst durch diesen Vorlauf konnten die Akademien und wissenschaftlichen Societäten entstehen, in denen Newton und Leibniz das, was wir heute als “Wissenschaft” kennen, gründen konnten.

Dabei war das Bewusstsein, dass wahres Wissen immer von der Möglichkeit der Letztbegründung abhängt,Newton ebenso gegenwärtig wie Leibniz. Philosophiae naturalis principia mathematica heißt sein Hauptwerk, und Leibniz ist bis heute selbst in der Umgangssprache als der Denker der “prästabilierten Harmonie” präsent.

Aber das war eben jene Metaphysik, der die Drei Kritiken von Immanuel Kant für immer den Garaus gemacht haben. Verzichtet also die Wissenschaft seither auf einen ‘letzten Grund’ ihres Wissens? Auf die Frage nach Wahrheit? Na ja. Wir können sehr wohl erkennen, was unter gegebenen Prämissen wahr ist. Freilich: Wahr ist es nur so fern, wie ich die Prämissen ausdrücklich mit denke. Und wer verbürgt nun die Richtigkeit dieser Prämissen? Kein Gott, kein Kaiser noch Tribun. Es ist die Republik der Wissenschaftler, die das tut, Tag für Tag aufs Neue, und ihr gehört jeder an, der am Werk der unablässigen Überprüfung mit arbeitet (auf das Risiko hin, dass ihm alle andern in die Waden beißen: Das gehört dazu.)

Der Wahrheitsbegriff der modernsten Wissenschaften beruht auf einem Modus, den der Wiener Volksmund umschreibt als “einstweilen definitiv”. Die ‘letzten Gründe’, von denen sie ausgeht, sind dasjenige, was seit nunmehr vierzig Jahren als ihre Paradigmen bekannt ist, und wie sehr es in der Wissenschaft heute wie eh um Wahrheit zu tun ist, erkennt man an den so genannten “Paradigmenwechseln”, die das Unterste zu oberst kehren und der Nachwelt jeweils wie eine ‘wissenschaftliche Revolution’ erscheinen.

Glauben kann man das, was wahr ist, und was unwahr ist. Wissen kann man nur, was wahr ist. Alles andre müsste man glauben. 

Wissen ist das, was der öffentlichen Prüfung durch die Gemeinschaft aller Denkenden Stand gehalten hat.Das ist “Maß und Substanz” der Wissenschaft. Es ist ein pragmatischer Begriff. Er muss sich jedesmal bewähren. So wie sich in der Öffentlichkeit ein Jeder jedesmalbewähren muss.


Exkurs

Im Schulunterricht wird es oft so dargestellt, als habe Galileo durch die Einführung des Experiments die Naturkunde zu einer Erfahrungswissenschaft umgestaltet. Das muss man mit den Worten Albert Einsteins relativieren: dass die Erfahrung eine Theorie bestätigen oder widerlegen könne; doch führt keine Weg aus der Erfahrung zur Theorie. Anders gesagt: Das Experiment dient dazu, eine Theorie zu überprüfen, aber ersonnen muss man sie vorher haben. Steven Weinberg [Physik-Nobelpreis 1979] nennt es ein Vorurteil, dass es in der Wissenschaft darauf ankomme, keine Vorurteile zu haben. Es kommt darauf an, die richtigen Vorurteile zu haben. 

Und hier kommt Galileo wieder ins Spiel! Er hat nämlich (auf die Philosophie Platos zurückgreifend) in die Physik das Vorurteil eingeführt, “das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben”. Indem die Mathematik eine jedermann zugängliche, für jedermann zwingend beweisbare Methode der gedanklichen Konstruktion ist, hat er so die Naturwissenschaft zu einer allgemein zugänglichen Öffentlichkeit gemacht. Und hier kommt nun auch das Experiment zu seinem Recht, denn es hat dieselbe Funktion: Indem die Versuchsanordnungen von jedermann allerorten jederzeit nachgestellt werden können, macht er nicht mehr nur die Erarbeitung, sondern auch die Überprüfung der Theorie zu einer öffentlichen Angelegenheit. 

Der Empirismus im engeren Sinn ist eine durch Francis Bacon begründete Unterströmung in der (insgesamt von Isaac Newton’s mathematischem Rationalismus beherrschten) englischen Naturwissenschaft des 17. und 18. Jahrhundert. Ihm diente das Experiment hauptsächlich dazu, Alchemie und ärztliche Kunst aus dem Dunst des Okkulten zu holen und öffentlicher Erörterung allererst zugänglich zu machen.

Merke: Der Naturwissenschaftler beobachtet keines Wegs “die Natur” so lange, bis sie ihm von allein ein Lied singt. Vielmehr reißt er vorsätzlich ein winziges Stückchen aus ihr heraus, zwingt es in die Folterkammer seines Labors und quält es kunstvoll so lange, bis es auf seine gezielten Fragen mit Ja oder Nein antwortet.
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